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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
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Cette démonstration repose, on le voit, sur celle du premier 
cas; elle s’en déduit d’ailleurs rigoureusement; mais elle n’est 
sans défaut que si la première est aussi sans défaut. J’ai indiqué 
plus haut, à propos de celle-ci, la critique qui peut être 
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faite : elle est relative à la dérivée —=—- dont il aurait fallu au 
du 
préalable démontrer lexistence. 
Il y a des cas cependant où l’on sait calculer la fonction de 
Green et vérifier ainsi directement l’existence de . 
dn 
Un de ces cas est celui de la sphère ; nous allons le traiter 
rapidement ii titre d’exemple. Occupons-nous d'abord du pro 
blème intérieur. 
Soient S une sphère, O son centre (fig. 48) et a son rayon. Soit 
en outre M' un point intérieur ; nous voulons calculer la fonction 
de Green relative à ce point. 
A cet effet, menons le diamètre OM' et prenons sur ce dia 
mètre le point M" conjugué du point M' par rapport à la sphère ; 
enfin soit M un point intérieur quelconque et M, un point de la 
surface ; menons les droites OM n MM', MM", MjM', MjM" et 
posons : 
MM' = r M,M' = r, OM = p. 
MM" = 1*' MjM": 
On a 
OM'. OM" = a 5 
d’où 
OM'