1° La fonction de Green est constamment positive dans le
domaine T.
Faisons cette démonstration dans le cas d’un volume T limité.
On a :
1
Lorsque r tend vers zéro, II reste liai, donc G reste éga
lement fini, (rG—1) tend alors vers zéro et rG tend vers 1. Ainsi,
quand r est très petit, le produit rG est très voisin de 1 ; on peut
donc affirmer qu’au voisinage du point de discontinuité la fonc
tion G est positive. Entourons alors ce point d’une sphère très
petite ï. Entre 2 et S, on aAG=0; sur S, G est nulle et sur S'
elle est >0 ; donc entre S et S, G est partout >0. Ainsi en tout
point de T, G est positive.
2° On a constamment dans le volume T.
On a ellet G = JI —| ; or, dans T, Il satisfait à l'équation de
Laplace; de plus on a 11 = — et par suite H<0 sur toute la
surface S ; si donc T est le volume contenu à l’intérieur de S et
limité par cette surface, on a en tout
point de T
G <
1
*'ig. 49-
Gettc propriété ainsi que la précé
dente s’étendent sans peine au cas où
le domaine T est constitué par l’espace
extérieur à une surface fermée S.
3° Soient encore (fig. 49) un domaine T
limité par une surface S, et un autre plus grand Tj limité par une
surface Sj et contenant le premier. Soit M 7 un point intérieur
à T ; appelons G la fonction de Green relative i» T et au point ML
On a :
G = H -j — •