Mais cette expression a une valeur fixe, elle est donc néces
sairement nulle et l’on a Lien
G'(M") = G"(M').
Le théorème annoncé est démontré.
75. Problème de Green. — Problème de Dirichlet transformé. —
Comparaison avec le problème de Dirichlet ordinaire. — Équiva
lence de ces trois problèmes. — L’énoncé du problème de Diri
chlet ordinaire a été donné plus haut (,64). Voici l’énoncé du pro
blème de Green.
Plaçons-nous dans l’espace à trois dimensions.
Soit un volume 1’ limité par une surface fermée S : calculer la
fonction de Green relative à ce volume et ii un quelconque de
ses points.
Ainsi énoncé, le problème de Green peut être appelé pro
blème intérieur de Green; mais, comme pour le problème de
Dirichlet, on peut énoncer un problème extérieur de Green.
Dans tout ce qui va suivre, nous ne nous occuperons que des
problèmes intérieurs ; les mêmes considérations s’appliqueront
aux problèmes extérieurs.
On peut montrer facilement l’équivalence du problème de
Green et du problème de Dirichlet.
Soit U la fonction qui doit satisfaire à l’équation de Laplace
dans T et dont il s’agit de déterminer les valeurs dans T par ses
valeurs sur S. Sa valeur U' en un point M' de T est donnée par la
formule suivante
4-U dL ” d( "
dn
U
dn
cio».
L’intégrale double du second membre est étendue à la surface S ;
G est la fonction de Green relative an point M' et à T. Cette for
mule se déduit de l’intégrale (6) du paragraphe 69 en rem
plaçant le potentiel — par la somme G du potentiel — et de la