RÉSOLUTION DU PROBLEME DE DIRICIILET 
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distribuées ¡1 l’intérieur de S r Effectuons maintenant la transfor 
mation de Thomson. Le potentiel \ t devient un potentiel V et, 
en deux points correspondants 011 a la relation : 
Par cette même transformation, la surface Sj devient une nou 
velle surface fermée S et, si le pôle d’inversion a été pris à l’in 
térieur de S p l’espace extérieur à S, devient l’espace intérieur 
à S. Le potentiel V est dû à des masses extérieures à S ou situées 
sur S. Donc, it l’intérieur de S, on a : 
A Y = 0. 
Donc Y est harmonique. De plus Y prend sur S des valeurs 
qui sont données par la relation : 
On voit par là comment on peut ramener le problème extérieur 
de Dirichlet au problème intérieur, et réciproquement. 
J’indiquerai seulement, pour terminer, que, si la fonction : 
v i( x >y> z 0 
est harmonique à l’extérieur de S p la fonction : 
est harmonique à l’intérieur de S. C’est ce (pie nous venons de 
voir. On peut le vérifier par un calcul direct. 
90. Cas du potentiel logarithmique. — Soit un potentiel : 
Y = v m lo K -ï*- 
0 
dù ii des masses quelconques. Faisons une inversion comme 
ci-dessus, mais en donnant des masses égales it deux points 
correspondants. O11 a :