RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET
Remplaçons ; il vient :
(p - n ) ? p+n ~ 1 jT E) x » x P d °-=°-
Donc, si n -=j=. p, on a :
c’est-à-dire :
fx n X D sin OdOdcs = 0.
JT 1 *
11 est clair que cela n’est plus vrai si n = p.
Supposons maintenant qu’il y ait deux développements pos
sibles pour une fonction Y harmonique entre deux sphères con
centriques S 0 et S,. Posons :
Notre hypothèse implique qu’on puisse écrire :
£Y„ = 0
en retranchant l'un de l’autre terme à terme les deux développe
ments distincts de la même fonction. Or je dis que cette consé
quence est absurde. En effet, nous savons que la série 2Y n est
uniformément convergente comme étant la différence de séries
qui le sont. Multiplions alors les deux membres de l’égalité :
2Y n =0
par Y p et intégrons sur la sphère N. On a :
ZX Y " Y " ilî+ X) YV,i=ü
en permutant les signes N et j , comme cela est permis à cause
de l’uniformité de la convergence. Dans l’égalité précédente, le
signe N ne porte que sur les termes pour lesquels on a :
n^p.
Mais
aïs on a :