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THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
La première de ces deux dernières intégrales estune intégrale 
curviligne étendue au contour G; la seconde estune intégrale de 
surface étendue à Faire attirante S. 
L’intégrale curviligne est un potentiel de ligne attirante et 
reste évidemment continue quand on traverse la surface en un 
point qui n’est pas situé sur le contour CF 
L’intégrale de surface est un potentiel de surface qui reste cou- 
OU 
timi dans les mêmes conditions. On peut donc conclure crue - 
Ox 
reste continu quand on traverse la surface, sauf, peut-être, au voi 
sinage du contour limite. La même démonstration s’applique 
, OU 
a o y ■ 
Gomme on le voit, cette démonstration suppose que la densité 
u/ est continue et admet des dérivées premières. 
Examinons maintenant les dérivées secondes de U. 
En vertu de la relation (1), on voit que la dérivée 
0 2 U 
0x0 z 
subit 
, ! , , Ou' , 0 2 U . . 
un saut brusque egal a —4r: —y-; de meme, ——-—• lait un saut 
brusque égal à 
0 2 U 
4- 
0x' 
0 2 U 0 2 U 
0 2 U 
OyOz 
restent continues ; 
0y' ’ Ox 2 5 0y 2 ’ OxOy 
quant à -F- , nous avons vu que c’est une fonction paire et que 
les deux limites vers lesquelles elle tend quand on approche de la 
surface en dessus et en dessous sont égales. Cela suppose, il est 
vrai, que ces limites existent. On démontre facilement qu’il en est 
. . . . .... 0 2 U 0 2 U 
ainsi : les deux derivees ——- et ——- restent continues et ont par 
Ox 2 Oy 2 1 
conséquent des limites quand on s’approche delà surface; d’autre 
part, en tout point extérieur à la surface, on a : 
La difference : 
AU — 
AU = 0. 
0 2 U 0 2 U 
Ox 2 + 0y» 
OHJ 
~0z 2 
est donc elle-même continue. 
Tout ceci suppose que la densité p/ a des dérivées secondes 
qui restent finies.