THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
‘2 36 
teurs de la normale à la surface en un point quelconque P de 
celle-ci, le potentiel U au point Л1 pourra s’écrire : 
■* p 7 dw 7 f p'dx'dv 7 
~^~ = J " y r 
Posons : 
1 pdx'dy 7 
La fonction L v est le potentiel en M d’une portion de surface 
plane attirante, la densité étant représentée par la fonction — ; 
y 7 
cette surface plane est la partie du plan des xy qui comprend 
l’ensemble des projections des éléments dto 7 de S. 
Nous avons fait, dans le paragraphe précédent, l’étude de la 
fonction U 7 ; nous allons y ramener celle de la fonction U. 
Posons pour cela : 
W = U — U 7 
et étudions la fonction \\\ 
Dans tout ce (pii va suivre, nous supposerons que la densité u. 7 
est continue ainsi que ses dérivées premières et qu’elle admet 
des dérivées secondes qui restent finies. Nous avions déjà fait 
cette hypothèse pour faire l’étude des dérivées secondes de U 7 . 
Considérons une dérivée d’ordre quelconque de W ; appelons- 
la DW pour abréger; elle sera de la forme : 
DW — f ? (x', y') dx'dy 7 . 
Supposons qu’on ait démontré l’inégalité : 
(1) 
к étant un nombre positil quelconque, mais fixe; je dis alors 
(pie DW tend vers une limite quand M tend vers M 0 en suivant 
la droite MM 0 . 
Pour le voir, traçons dans le plan des xy un cercle C 7 de rayon 
P ayant M 0 pour centre; ce cercle est la projection d’une ligne C 
tracée sur S et entourant M 0 . La surface S est ainsi partagée 
en deux parties S 7 et S 7/ , S 7 étant celle qui contient M 0 .