DOUBLES COUCHES 
■j. 11 
Je vais démontrer les propositions suivantes : 
i° Quand on franchit la surface, les dérivées premières de W 
restent continues. 
2° Au contraire, les dérivées secondes éprouvent des disconti 
nuités, sauf si la densité au point où l’on traverse la surface, 
est nulle. 
108. Occupons-nous d’abord des dérivées premières. 
ÙW , „ . , . r 
w 
/ 
Y 1 1 \ 
-G 
II 
X 
V r * r ri ) 
C’est un produit de deux facteurs; le premier, 0/, est d’ordre 
zéro. Montrons que le second est d’ordre i. On peut l’écrire : 
(i)' 
x) ('■' 
,, 2,,/2 
Cette expression est la somme de trois termes. Le premier 
fxU 
est évidemment d’ordre 1; en effet : 
r' — r est d’ordre 
enfin —y est d’ordre 3; le produit 
est d’ordre 0; de plus 
(x ; — x) (r' 
est donc 
1‘" ‘ rr' 
d’ordre 1. 
Il en est de même pour les deux autres termes de l’expression 
l) et l’on voit bien que es est d’ordre 1. La dérivée est donc 
Ox 
continue quand 011 traverse la surface et cela est vrai quelle que 
soit la valeur de la densité au point où l’on franchit cette surface. 
r , 1. . ,. + ,, ÔW m 
La meme démonstration s etend a et et la propo- 
oy Oz 11 
sition annoncée pour les dérivées premières est entièrement 
prouvée. 
Poixcaré. Potent. Ncwt. i(;