THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
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109. P assons maintenant an cas des dérivées secondes. Nous 
démontrerons simplement ceci : Si la densité p/ u au point NI 0 où 
l’on traverse la surface est nulle, les dérivées secondes restent 
continues. 
Considérons l’une d’elles, v , par exemple ; la fonction 
t)x 
sous le signe j est : 
La densité u/ 0 au point M 0 étant nulle et possédant des dérivées 
des deux premiers ordres, la fonction p/ est d’ordre — 1 au 
voisinage de ce point. Montrons que la quantité entre crochets 
est d’ordre 2. On a : 
On a aussi : 
1 
r' — r) 
1 
r r 
La quantité entre crochets considérée peut donc s’écrire : 
1 1.1. 1 
3 (x'_xr-;V —1 
r 5 r' l‘V 2 1‘V 3 l* 2 r /4 ri 
-(r'-r 
ér) 
/ 1 
1 
1 
1 
\ r 3 r' 
r 2 r 2 1 
rr' 3 
ou encore : 
(3). 
ym 
X - I r — r 
— XJ’l 
V 
■V v' 
r p,.'q 
avec les relations 
m -f- n = 6 
p + q = 4.