DOUBLES COUCHES 2/ t 3 
Chacune des sommes de l’expression (3) est d’ordre 2; en effet, 
un terme quelconque de la première est de la forme : 
3(x'-x) 2 (C — r) 
( X X ) , < 
Ce terme est d’ordre 2 car 1° est d'ordre m + n — 2=4; 
2° (r 7 — r) est d’ordre — 2 puisque l’on a : 
I r — r' | < t! 
et que v! est d’ordre — 2 ; l’expression (4) est donc d’ordre 
4 — 2 = 2. 
Bref, la première somme de l’expression (3) est d’ordre 2 ; la 
seconde est d’ailleurs aussi d’ordre 2 car tout terme de la forme 
-—-—est d’ordre p -j-q — 2, c’est-à-dire dans le cas présent 
4 — 2 = 2. 
Ainsi l’expression (3) est d’ordre 2, la fonction cp est donc 
0 ^ w 
d’ordre — 1+2 = 1 et par conséquent la dérivée - ■—est con 
tinue. 
Le même raisonnement s’applique aux autres dérivées secondes 
de W et la propriété annoncée est donc démontrée ; les dérivées 
secondes de W restent continues quand on franchit la surface en 
un point il/ 0 ou la densité est nulle. 
110. Re venons alors aux potentiels U et U 7 considérés au para 
graphe 106 et supposons nulle la densité au point M 0 oà l’on fran 
chit la surface. Nous avions posé : 
U = W+U 7 . 
La fonction W considérée dans cette relation est précisément 
celle que nous venons d’étudier et, par suite, les dérivées 
secondes de U, quand on franchit la surface au point M 0 éprou 
vent les mêmes discontinuités que celles de U 7 puisque celles 
de W restent continues. 
Or U 7 est le potentiel cl’une surface plane attirante sur laquelle