RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET '¿79 
est convergente. Donc il en est de même de la série : 
et, par suite, la fonction Y est harmonique. 
C. Q. F. D. 
127. Considérons un domaine T limité par une surface fermée S. 
Ce domaine est supposé connexe, mais d’un ordre de connexion 
quelconque. 
Soit une suite illimitée de fonctions harmoniques : 
VjV,... Yj... 
définies et positives dans T. Je dis que, si la série : 
SY, 
est convergente en un point M 0 de T, elle est convergente en tout 
point de T. 
Fn effet, prenons un point M quelconque situé à l’intérieur de T. 
Si le point M est contenu dans une sphère qui renferme aussi 
le point M 0 et qui soit tout entière à l’intérieur de T, la proposi 
tion est évidente : en effet, chacune des fonctions Y 4 est harmo 
nique et positive dans cette sphère, en sorte qu’on est ramené au 
cas étudié dans le paragraphe précédent. 
Supposons maintenant (fig. 83) qu’on ne puisse trouver