Remarque. — Nous avons supposé pour plus cle simplicité,
dans la démonstration précédente, que la (onction donnée $ était
positive et non nulle en tout point de S. On peut toujours se
placer dans ce cas pour résoudre le problème de Dirichlet.
En eiïèt supposons que ( I> ait un signe quelconque. Posons :
(M=C le )
On peut toujours écrire :
<I> — M —(M — <ï>).
On a :
- <I>>().
Soit A' une fonction harmonique dans T prenant sur S les
valeurs Al — f I> : nous admettons qu'on peut la déterminer. Cela
posé, il est clair (pie la fonction :
M — Y
est harmonique dans T et prend sur S les valeurs <1>.
129. Méthode du balayage. — Proposons-nous de construire
une fonction Y harmonique dans un domaine T limité par une
surface fermée S et prenant sur S les mêmes valeurs qu'un
polynôme donné P.
Commençons par tracer une sphère ü contenant à son intérieur
tout le domaine T.
Cela posé, il est possible de trouver une infinité de sphères üj
formant une suite à indices entiers positifs et jouissant des pro
priétés suivantes :
1° Chacune des sphères üj est tout entière intérieure à T.
2° Tout point de T est intérieur à l’une au moins des
sphères Î2;.
Concevons, en effet, une succession de nombres positifs :
O p 0 2 ,... Oj,...
décroissants et tendant vers zéro. Imaginons maintenant une série
O
de régions :
îW-'Ko-..
s’enveloppant mutuellement et tendant à se confondre avec T.