DÉVELOPPEMENT SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES DE X, Y, Z 5i 
Une pareille circonstance ne se présente pas pour les séries 
à ternies positifs. 
24-Développement du potentiel newtonien suivant les puissances 
entières de x, y, z.— Revenons au potentiel. Nous avons démon 
tré que le potentiel newtonien est développable en série de poly 
nômes sphériques autour de l’origine, quand celle-ci est exté 
rieure aux masses agissantes. Montrons maintenant que, dans la 
même hypothèse, la fonction Y est holomovplie au voisinage de 
l’origine, c’est-à-dire que, dans une sphère assez petite ayant 
pour centre l’origine, elle est développable en série de la forme 
m,n,p étant des nombres entiers positifs pouvant prendre toutes 
les valeurs entières de zéro à l’infini. 
Pour le voir, rappelons que l’on a : 
COS Y H- r>' 2 
_ jj - 
— x” —|— y~ —|— z" — 2 xx —|— 2 y y' —|— 2 zz —|— x " —|— y'~ —|— z'“ 
et posons : 
X 
2 xx' -|- 2 yv' -f- 2 zz' — 
X 
y- — Z- 
On a, en comparant r 2 et X : 
d’où : 
1 
r 
Développons (1—X) 2; on a : 
+ : h^ + :, 2 N 2 -f- -j- a n X’ 
n 
et, par conséquent, 
r 
+ «nN n + 
Dans cette série, les coefficients a sont tous>0.