CONVERGENCE DES INTÉGRALES 
l’un C 0 , de rayon r 0 , que nous laisserons fixe ; l’autre plus petit C' 7 
dont nous ferons tendre le rayon r" vers zéro. Enfin, pour sim 
plifier le langage, désignons par les symboles 
les intégrales étendues aux aires comprises respectivement entre 
les courbes : C et C 0 , C et C 7 , C 0 et C". L’intégrale 
a un sene; elle est > o et augmente quand r" diminue. On a, de 
plus, 
I f f(x, y)dw<r f -^-dw, 
l/ t/c—c” * t/ t/c—c 1 ' ' 
et, par suite, 
IL f (x ’ y) dw </£. N dw dw; 
la première intégrale du second membre reste fixe ; quant à la 
deuxième, elle a pour valeur : 
dio 
Mr"*--« 
o. Mr»»-« 0 
2 — a 2 — a 
et on voit que, si a est inférieur a 2, elle tend vers une limite 
finie quand r" tend vers zéro. 
L’intégrale du premier membre j f _ c „ f (x, y) dio, qui reste 
toujours inférieure à cette limite et va sans cesse en augmentant 
quand r" diminue, a donc aussi une limite. 
Le résultat n’est pas changé, si l’on remplace la circonfé 
rence C" par une courbe C' de forme quelconque entourant le 
point O et venant s’évanouir en ce point; on le voit facilement en 
traçant, autour de O pris comme centre, deux circonférences G" 
et Ci' comprenant entre elles la courbe G' et venant s’évanouir 
en O en même temps que celle-ci. 
Supposons maintenant que la fonction f ait un signe qucl- 
poincaré. Potent. Newt. 5