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§. 2.
Die Versetzungen ohne Wiederholungen aus den Elementen a x , a 2 ... a, n
zur p ten Klasse werden gebildet. Wie grofs ist die Zahl der Gruppen,
worin wenigstens k Elemente in der Reihenfolge ihrer Stellenzahlen er
scheinen?
Die vorliegende Frage wird auf eine ähnliche Weise, wie die im
vorigen §., gelöst werden. Die Gruppen, welche der Aufgabe genügen,
sind nach Gestalt und Zahl
i ) Gl = a 2 &3 ... 3k -f- a 2 a 3 • • • a k +.i + &3 ei,*... a k +2 a m _ k+1 ....a ra = m-k+1
Zählt man nun die Gruppen der Versetzungen zur p ten Klasse nach
einer Richtung hin, so können die eben genannten Gruppen gerade von der
ersten, oder zweiten, oder dritten oder (p—k-f-l) ten Stelle an erscheinen.
Deswegen sind folgende Fälle zu untersuchen.
a) Eine der unter 1 angegebenen Gruppen erscheint von der ersten
Stelle an. Jede beliebige Zusammenstellung der übrigen (ra—k) Elemente
kann ihr zur (p—k) ten Klasse folgen. Die hiedurch bestimmte Gruppen
anzahl ist
Bj = (m-k+1) (m-k) p “ k|-1
b) Eine dieser Grupen erscheint von der zweiten Stelle an. Jedes
von den übrigen (m—k) Elementen mit Ausnahme desjenigen kann un
mittelbar vortreten, welches die nächst niedere Stellenzahl von der des
Anfangselementes trägt. Nehmen wir auch hier die unmittelbar vortre
tenden Elemente als vollständig an, und ziehen dann die Gruppen, welche
nicht Vorkommen dürfen, ab, so ergibt sich folgende Darstellung
&k+2,a m ]*a 2 .. a k + P[aj, a k+ 2, ..a m ] 1 a 2 03.. a k .|-2 + P[ai,a 2 ,a k -|_3.. a m ] 3334.. a k -)-2 i ••
• • • + P(aj, a 2 ... a m _ k _i,a,,,) 1 a m _ k ... a m _i + P äi, a 2 ... am-k) 1 a m _ k +i...a m —
— a x | a 2 a 3 ... a k+1 = (m-k) 11 - 1 G x — S x = (m-k) (m-k+1) — (m-k)
— a 2 j 83 84... a k+2
a m - k [a m _ k+1 ... a m
Jeder von diesen Gruppen kann die Zusammenstellung der übrigen
(m—k—1) Elemente zur ergänzenden, (p—k—l) ten , Klasse folgen. Es
ergibt sich hieraus die Gruppenanzahl
B 2 = [(m-k) (m-k+1) — (m-k)] (m-k-l) p_k ~ 1|_1 = (m-k) (m-k) p_kl ~ l
c) Eine der in 1 angeführten Gruppen erscheint von der dritten
