ABELSCHE INTEGRALE. ABELSCHER SATZ. 
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ist sowohl ^.= 0 als ~ = 0, und die Reihenentwickelung be 
ginnt mit Gliedern von der Form 
\U> ( s — s 1 Y + ^c(s — s 1 ) (z—z 1 ) + d(z—z 1 Y] + . 
woraus hervorgeht, dass 0—z 1 und s — s } proportional sind; 
da nun 
?£=b(s—s 1 ) + c(z—z 1 ) + ..., 
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so sind auch und z—z 1 proportional. Da der Zähler aber 
in der Regel nicht proportional z—z x ist, so wird das Integral 
im allgemeinen in einem Doppelpunkte der Kurve logarithmisch 
unendlich; ist der Doppelpunkt eine Spitze, so zeigt eine ähn 
liche Untersuchung, dass das Integral dort algebraisch unend 
lich wird wie 
A(z — z 1 ) i + B (z — z$ +... 
Wird jedoch für den betrachteten Punkt der Zähler gleich Null, 
oder mit anderen Worten, geht die Kurve 17=0 durch den 
Doppelpunkt oder die Spitze, so ist der Zähler in der Nähe 
dieses Punktes dem Ausdruck 0—z x proportional, und das Inte 
gral ist endlich in der Nähe des Punktes. Hieraus ergiebt 
sich, dass die Bedingung dafür, dass das Integral von erster 
Gattung ist, darin besteht, dass die Kurve U=0 durch alle 
Doppelpunkte und Spitzen der Kurve f=0 geht. Von solchen 
giebt es U—— ; — p, wo p das Geschlecht der Kurve be 
deutet. Soll 17=0 durch alle diese Punkte gehen, so wird 
die Anzahl der beliebigen Koefficienten reduciert auf 
n(n—3) (n—l)(n-2) 
Auf einer Kurve vom Geschlechte p giebt es also p von 
einander linear unabhängige Integrale erster Gattung. 
Wir bestimmen nun, um die fehlenden speciellen Integrale 
zu bilden, die Kurve 77=0 so, dass sie durch alle Spitzen und 
Doppelpunkte, mit Ausnahme eines einzigen geht. Sie ist da-