ADDITIONSTHEOREME. 
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dass die Kurve so von der Ausgangslage in die Endlage über 
geht, wie es durch eine stetige Variation derjenigen Parameter, 
die in der Gleichung enthalten sind, bestimmt wird; diese Varia 
tion kann jedoch auf unendlich viele Arten vor sich gehen. 
Sind die Lagen der Punkte schliesslich (2^), (2 2 , s 2 ) und (z 3 ,s 3 ), 
so geben wir als obere Grenzen 2 1? z 2 und z 3 an, haben dann 
‘aber auch hier zu beachten, dass jedem 2 ein bestimmtes s 
entspricht, oder, was dasselbe ist, dass 2 als ein Punkt der 
Riemannschen 2-Fläche zu betrachten ist. Auf diese Weise 
wird das Integral eine Funktion der oberen Grenze z h die wir 
durch Ui — w (z { ) bezeichnen wollen. 
Aus Abels Satz folgt nun für ein Integral erster Gattung 
(1) xp (2,) + \p (z 2 ) + xp (2 3 ) = 0. 
Durch eine veränderte stetige Variation der Parameter 
können zu den einzelnen Gliedern dieser Gleichung Periodicitäts- 
moduln hinzukommen, aber das muss immer auf solche Art 
geschehen, dass die Gleichung ihre Gültigkeit behält, denn in 
unserem Beweise für Abels Satz erhielten wir V = 0 für jede 
Lage von F. 
45. Die drei Werte von 2 werden durch eine Gleichung 
dritten Grades bestimmt; wenn wir in dieser die Koefficienten 
durch die Wurzeln ausdrücken, so erhalten wir drei Gleichungen, 
aus denen wir zwei Parameter eliminiren können; wir erhalten 
dadurch eine Gleichung zwischen 2 1? 2 2 und 2 3 , die symmetrisch 
ist in Bezug auf diese Grössen und die unter algebraischer ra 
tionaler Form die Bedingung dafür ausdrückt, dass der Gleichung 
(1) genügt ist. Setzt man in diese Gleichung für z 3 die untere 
Grenze der Integrale ein, so erhält man die algebraische Rela 
tion zwischen 2j und z 2 , der genügt werden muss, damit 
= — xp'(z 2 ). Wir hätten deshalb unsere transcendente 
Gleichung ebenso gut 
0) 00 + xp O2) = 0 3 ) 
schreiben können, aber die algebraische Bedingungsgleichung 
nimmt dann eine andere, in der Regel nicht symmetrische 
Form an.