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ERSTER ABSCHNITT. KAPITEL VI. 
Da nur eine Bedingungsgleichung vorhanden ist, so lassen 
sich z 1 und z 2 unabhängig von einander wählen und deshalb Gi 
als zwei unabhängig Variable betrachten; z 3 wird dann aus der cl 
Bedingungsgleichung bestimmt, aber diese wird in der Regel w 
von höherem Grade sein und daher eine mehrdeutige Bestim- gr 
mung von z 3 liefern; will mann eine eindeutige Bestimmung Lc 
haben, so muss man auch die Werte von s benutzen und er- Ui 
hält dann Gleichungen von der Form 
(3) 2 3 - /; (d,s r z a .s 2 ); s 3 = f 2 %,8 v z t .s 2 ), 
m: 
wo /'j und f 2 rationale Funktionen der vier Koordinaten sind. 
Wie aus (2) hervorgeht , kann man die Summe von zwei 
Funktionen tp (und deshalb auch von einer beliebigen Anzahl) 
durch eine Funktion xp mit Hülfe einer algebraischen Gleichung Dll 
ausdrücken; man sagt, dass Funktionen, die diese Eigenschaft un 
besitzen, ein algebraisches Additionstheorem haben. Einige Auto 
ren sagen dies von den umgekehrten Funktionen; ist — q(uß), 
so erhält man z 3 = qp (?/ 3 ) = q> {u 1 + u 2 ). Sie sagen dann, dass 
eine Funktion q(u) ein algebraisches Additionstheorem hat, 
wenn zwischen q (u, q (u 2 ) und q {u x + w 2 ) eine algebraische g- e] 
Gleichung mit konstanten Koefficienten existiert. Für unter (ß) ] ia 
gehörige Integrale zweiter und dritter Gattung auf Kurven vom p U 
Geschlecht 1 liefert Abels Satz auch ein Additionstheorem, aber 
Sil] 
hier wird durch Addition der beiden Funktionen das Resultat 
eine Funktion derselben Art, nebst algebraischen und logarith- 
mischen Gliedern; deshalb rechnen wir diese Theoreme nicht Int 
unter die eigentlichen Additionstheoreme. Hiervon sind jedoch 
solche Normalintegrale ausgenommen, deren beide Unendlich 
keitspunkte denselben Wert von 1 bestimmen. Für unter (a) 
gehörige Integrale dritter Gattung erhalten wir keine Additions- ^ 
theoreme; denn da F nicht feste Punkte in allen Doppel- ^ j 
punkten haben darf, so lässt sich die Anzahl von beweglichen 1 
Punkten bis auf drei, von denen zwei beliebig sind, nur in 
dem Falle vermindern, wo die Kurve von dritter Ordnung ist, ^ 
und in diesem Falle existiert kein Integral (d) dritter Gattung. 
Wir wollen nun einige Beispiele betrachten, die sich auf 
Kurven vom Geschlechte 0 und 1 beziehen.