ADDITIONSTHEOREME. 
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Beisp. 1. Die Kurve hat die Gleichung £¡2=1; sie ist vom 
Geschlechte Null, und deshalb giebt es keine Bedingungsglei 
chung, so dass die beiden beweglichen Punkte beliebig gewählt 
werden können. Lassen wir s die Funktion unter dem Inte 
gralzeichen sein, so erhalten wir das Additionstheorem für den 
Logarithmus. Das Integral ist hier von dritter Gattung, und seine 
Unendlichkeitspunkte liegen auf der unendlich fernen Geraden. 
Beisp. 2. s (1 + 2 2 ) = 1. Die Kurve ist vom Geschlechte Null, 
da sie einen unendlich fernen Doppelpunkt hat. Wir schneiden 
mit der Geraden s = az + ß und erhalten 
ec2 3 + ßz 2 + az + ß— 1=0; z 1 z 2 +z 1 z 3 ~i~ z 2 z 3 = 1. 
Ist die Funktion unter dem Integralzeichen s, so wird sie 
nur unendlich im Doppelpunkte, und wir erhalten, da S—0 
und Z = 0 keine gleichen Wurzeln haben, 
xp fo) + xp (z 2 ) + p = o. 
Z i -t- Z 2 
Die Funktion ist etwas verschieden von arctgz. Um eine 
gemeinschaftliche untere Grenze für die drei Integrale zu er 
halten, müssen wir die Gerade als Tangente in einem Wende 
punkte beginnen lassen; nun werden die Wendepunkte be 
stimmt durch 3 2 2 = 1. Die Funktion ist demnach arctgz— 
Beisp. 3. 2 2 + 6- 2 =l. s — az-\-l. Die Funktion unter dem 
1 
Integralzeichen sei —. 
Wir erteilen a einen beliebigen konstanten Wert, jedoch 
nicht + i. Das Integral wird unendlich in den beiden Punkten oo; 
diese liegen beide auf der durch L~oo bestimmten unendlich 
fernen Geraden, und die Integralsumme in Abels Satz ist des 
halb Null; wir legen die Anfangsgerade durch die Punkte (0, 1) 
und (s„ s 3 ), die Endgerade durch {z v sß) und (z 2 , s 2 ), und das 
eine Integral geht dann von 0 bis z 3 , das andere von 2 3 bis z 2 ; 
das letztere wird in eine Differenz zwischen zwei Integralen, die 
in 0 beginnen, umgeformt, und wir erhalten dann 
arc sin z 1 + arc sin 2 2 = arc sin z r *