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ERSTER ABSCHNITT. KAPITEL VII. 
n finden kann, dass das Produkt aus den n + m ersten Fak 
toren für alle positiven Werte von m in einem Kreise um P 
als Mittelpunkt und mit a als Radius liegt. Wenn der Modulus 
des Produktes für wachsende n gegen Null abnimmt oder ohne 
Grenze wächst, so heisst es divergent. 
Die Begriffe unbedingte, bedingte und gleichmässige Kon 
vergenz u. s. w. werden auch auf unendliche Produkte mit einer 
leicht verständlichen Bedeutung angewandt. Es ist einleuchtend, 
dass lim \a n | = 0 eine notwendige Bedingung für Konvergenz ist. 
Sind alle Grössen a positiv, so ist das Produkt konvergent 
oder divergent, je nachdem 2a konvergent oder divergent ist. 
Man hat nämlich, wenn man das Produkt der n ersten 
Faktoren mit ir n bezeichnet und die Summe der n ersten 
Grössen a mit s n , 
A ^ ^ S n 
1 -j- S n <^_ n <. & 
Wir sehen hieraus, dass das Produkt, wenn 2a konvergent 
ist, zwischen zwei bestimmte endliche Grenzen fällt; da es nun 
beständig wächst, so muss es sich einem gewissen Grenzwert 
nähern. Ferner zeigt die Ungleichheit, dass das Produkt ohne 
Grenze wächst, wenn s n ohne Grenze wächst. 
Der Satz gilt auch, wenn die Grössen a n von einem ge 
wissen n an alle negativ und verschieden von — 1 sind. Wir 
haben nämlich, wenn wir —a n für a n setzen, 
^ n — (1 O- n) —11 
woraus 
^■n—1 ^ n __ 
. — o. n . 
Hn—1 
Ist nun das Produkt konvergent, so können wir, da sein 
Grenzwert ein bestimmtes Vorzeichen haben muss, für hin 
reichend grosse n annehmen, dass a„< 1, so dass <rc n mit wach 
senden n abnimmt. Wir erhalten dann beziehungsweise nie 
drigere und höhere Grenzen für a„, wenn wir für die Nenner 
der Brüche beziehungsweise <n„_i und setzen. Daraus folgt