UNENDLICHE REIHEN UND PRODUKTE. 
149 
Wir gehen nun über zum Produkt aus komplexen Fak 
toren und setzen 
Qn = (1 + + « 2 «) • • • (1 + a n s) = 1 + c x z + c 2 « 2 + ... c n z n , 
wo c v c 2 ... c n Summen sind, die, wenn n bis ins Unendliche 
wächst, unbedingt konvergente Reihen werden, die gewisse 
Grenzwerte y 1 , y 2 ... y n haben, während das Produkt Q n den 
Grenzwert Q hat. Da \y p \<ß p , so wird die Reihe Q x un 
bedingt konvergent. 
Nun vergleichen wir die beiden Differenzen 
(y—Ci)z + {7—c 2 )z? + . .. + [7n—c H )z n 
und 
(ß—b 1 )r+(ß—b 2 )r t +. . .+ (ß n —b n )r n ; 
hier ist {r P —c p )zP zusammengesetzt aus Gliedern, deren Mo 
duln sich in den Gliedern von (ß p —b p )rP finden, und die erste 
Differenz hat deshalb einen Modulus, der kleiner ist als derjenige 
der anderen; von diesem haben wir jedoch erfahren, dass er 
für wachsende n gegen Null konvergiert; wir haben also für 
die ganze Ebene 
Q = lim Q n = 1 + 7l z + + ... 
Wir haben vorausgesetzt, dass keiner der Faktoren des 
unendlichen Produktes Null ist; unter dieser Voraussetzung 
kann das Produkt, wie wir gezeigt haben, nicht gegen Null 
konvergieren; die Funktion kann also nur Null werden, wenn 
einer von den Faktoren Null ist, und dadurch sind alle ihre 
Nullpunkte bestimmt. Wie weit die Funktion auf der anderen 
Seite durch ihre Nullpunkte bestimmt ist, wird später erwähnt 
werden. 
Reisp. Die Produkte 
sind beide divergent, während ¿das Produkt