CAUCHYS INTEGRAL. REIHENENTWICKELUNGEN. 
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z — t z—ci—(t — a) 
1 1 
(t — a) z — a (z — df ' fz — af 
(t — a) n (t — d) n f J 
(z—a) M + 1 ' (z—ci) nJ r [ (z — t) ’ 
1 + + 
dadurch erhält man, wenn man die oben gefundenen Aus 
drücke für die abgeleiteten Funktionen benutzt, 
(4) f{t)=f(d)+f '(a)-p + f"(«)+ • • • + f n {a) 
Für hinreichend grosse n und für 
t—a | <.\z — a 
erhält die Funktion unter dem Integralzeichen für alle Punkte 
der Begrenzung einen Modulus, der so klein ist wie man will; 
B konvergiert deshalb für wachsende n gegen Null. Diese 
Bedingung ist erfüllt für alle Punkte innerhalb einer Kreis 
peripherie, die ihren Mittelpunkt in a hat und keinen singu 
lären Punkt einschliesst. Für alle derartigen Punkte kann 
man deshalb die bis ins Unendliche fortgesetzte Taylorsche 
Reihe anwenden. Der Kreis wird Konvergenzkreis der Reihe, 
wenn sein Radius unter den angegebenen Bedingungen so 
gross wie möglich gemacht wird. Für a — 0 geht die Reihe 
über in die Maclaurinsche. 
Es lässt sich leicht beweisen, dass die Funktion sich in 
keiner anderen Potenzreihe vom Punkte a aus entwickeln lässt 
als in der Reihe (4). Hierauf beruht die bekannte Entwicke 
lung einer Funktion in einer Reihe mit Hülfe der Methode 
der unbestimmten Koefficienten. 
Die Funktionen e z , sinz und cos.s sind eindeutig und stetig 
in der ganzen Ebene; die Reihen 
sin2 = z — ^ + gj t-.. 
5! 
gelten deshalb für jeden endlichen Wert von z.