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ERSTER ABSCHNITT. KAPITEL VIII. 
Kreise ist, so erhält man, wenn man wie oben verfährt, die 
Funktion für alle Punkte im Kreisringe ausgedrückt durch eine 
Reihe, die sich nach beiden Seiten bis ins Unendliche er 
strecken kann mit negativen und positiven, ganzen, wachsenden 
Exponenten. Diese Reihe heisst die Laurentsche Reihe. 1 ) 
DIE FOURIERSCHE REIHE, 
76. Eine Funktion, die eindeutig und stetig in der ganzen 
Ebene ist und die Periode oo hat, lässt sich in einer in der 
ganzen Ebene konvergenten Reihe entwickeln die nach Potenzen 
i * % 
e~ oa fortschreitet. 
Setzt man nämlich (Cauchys Entwickelung) 
von e 
CD 
so wird die Funktion, als solche von t genommen, eindeutig. 
Erfährt nämlich It die Zunahme 2«u, so erfährt z die Zunahme 
co und f(z) bleibt unverändert. Da It für t — 0 unendlich ist, 
so wird dieser Punkt ein singulärer Punkt für die Funktion und 
muss ausgeschlossen werden. Man kann nun Laurents Ent 
wickelung benutzen, (wobei der äussere Kreis einen sehr 
grossen Radius hat) und erhält für f(z) die Reihe 
... -f- b 2 E^ -)- ¿j t~- 1 + a -f- a 1 t -j- ci 2 1 2 4~ ..., 
welche die im Satze angegebene Form erhält, wenn t durch 
^ ausgedrückt wird. Da z nur unendlich wird für t = 0 und 
für t — oo, so gilt die Reihe für alle übrigen Werte von 0. 
Wenn f(z) den Bedingungen für die Periodicität nicht ge 
nügt, so kann man dennoch die Reihenentwickelung ausführen, 
aber da die Funktion, als Funktion von t genommen, nicht 
eindeutig wird, so erhält sie singuläre Punkte, und der äussere 
Grenzkreis wird sich nur bis an den nächsten von diesen er 
strecken können. Das Gebiet für die Gültigkeit der Reihe in 
z erhalten wir durch Abbildung des Kreisringes auf die 2-Ebene. 
i ) Comptes renclus. T. 17.