CAUCHYS INTEGRAL. REIHENENTWICKELUNGEN. 
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Nun folgt aus der Gleichung 
2 cti 
— (aH-iy) 
t — a (cos 9 + i sin 0) — e 00 , 
dass man, « reel und positiv gedacht, hat 
a = e ® ; y la\ 
• Z 71 
hieraus geht hervor, dass der Kreisring als derjenige Teil der 
Ebene abgebildet wird, der über einer Geraden liegt, die der 
Axe der reellen Zahlen parallel ist (Vergl. Beisp. 3, S. 140.) 
REIHEN VON BURMANN UND LAGRANGE. 
77. Wir suchen eine gegebene Funktion f(t) in einer Reihe 
zu entwickeln, die nach Potenzen einer anderen gegebenen 
Funktion qo(t) fortschreitet; von beiden Funktionen setzen wir 
voraus, dass sie eindeutig und stetig in einem gewissen einfach 
zusammenhängenden Flächenstück sind. Von der Funktion cp 
setzen wir ferner voraus, dass sie nicht für zwei dem Flächen 
stück angehörende Punkte denselben Wert hat, und dass ihre 
Abgeleitete nicht für irgendwelche Punkte des Flächenstücks Null 
werden kann. Unter diesen Voraussetzungen betrachten wir 
das Integral 
m-m 
cp (z) — cp (t) 
dz, 
wo z die Begrenzung des Flächenstücks in positiver Richtung 
durchläuft, während t ein beliebiger Punkt des Flächenstückes ist. 
Der Bruch ist eindeutig und kann nur unendlich werden 
für z — t, denn dies ist der einzige Wert von z, der den Nenner 
zu Null macht. Derselbe Wert macht jedoch auch den Zähler 
zu Null. Wir müssen also den wahren Wert, des Bruches 
suchen, und finden als solchen f'(t):cp’{t), ein Wert, der 
nach unseren Voraussetzungen endlich ist. Der Bruch ist also 
überall innerhalb des Flächenstückes eindeutig und stetig, und 
daraus folgt, dass der Wert des Integrals Null ist. Wir 
.haben dann