ANDERE ANWENDUNGEN VON CAUCHYS INTEGRAL. 
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mit der Potenzreihe als Definition für eine Funktion innerhalb 
des Konvergenzkreises. Er nennt die Funktion analytisch und 
die Reihe ein Funktionselement. Durch Hinzufügung von neuen 
Reihen wird die Funktion so viel wie möglich erweitert (ana 
lytische Fortsetzung der Funktion). Der Stetigkeitsbereich der 
Funktion begreift alle diejenigen Punkte in sich, von denen aus 
sie in einer, in der Umgebung des Punktes geltenden Potenz 
reihe entwickelt werden kann. Der Stetigkeitsbereich der Funk 
tion wird von den singulären Punkten begrenzt, die einzeln 
Vorkommen können oder geschlossene Kurven bilden. Da eine 
Potenzreihe, wie wir bewiesen haben, eine monogene Funktion 
definiert, und jede monogene Funktion in einer Potenzreihe 
von jedem nicht singulären Punkte aus entwickelt werden kann, 
so decken sich die Begriffe monogen und analytisch. 
93. Während die Erweiterung einer Funktion durch Potenz 
reihen in theoretischer Beziehung genügt, so sind jedoch in 
speciellen Fällen andere Entwickelungsmethoden sehr oft be 
quemer, und Biemanns Satz, dass eine für ein gewisses Flächen 
stück definierte Funktion nur eine einzige Fortsetzung hat, ein 
Satz, der wiederum eine unmittelbare Folge des Cauchyschen 
Integrales ist, muss deshalb immer einer von den Hauptsätzen 
der Funktionstheorie bleiben. Als Anwendung wollen wir den 
versprochenen Beweis geben für Schwarz’ Satz über Funk 
tionen, die Additionstheoreme haben. 
Bezeichnet u wie früher das Äbehche Integral, genommen 
bis zum Punkte (z, s), so können wir setzen 
s = g>(w); z = tp(u), 
wo q)(u) und ip(u) Potenzreihen bedeuten, die jedenfalls für 
Punkte u gelten, die innerhalb einer Kreisperipherie liegen mit 
dem Mittelpunkt im Nullpunkt und einem gewissen Radius a. 
Nun haben wir bewiesen, dass man Summe und Produkt zweier 
Reihen, die unbedingt konvergent in einem gewissen Kreise 
sind, als Reihen darstellen kann, die unbedingt konvergent in 
demselben Kreise sind; wir können mit anderen Worten <p(2w) 
und ipfäu) als Brüche darstellen, deren Zähler und Nenner 
Potenzreihen sind, die nach Potenzen von u fortschreiten und