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ERSTER ABSCHNITT. KAPITEL X. 
woraus folgt, das die gegebene Reihe für einen beliebigen Wert 
von 0 unbedingt konvergiert. 
Ganze transcendente Funktionen geben bei Addition oder 
Multiplikation wieder ganze, im allgemeinen transcendente Funk 
tionen. Bei Division wird der Quotient eine Funktion, die dort 
Pole hat, wo der Divisor Nullpunkte hat, wenn ein solcher Null 
punkt nicht zugleich Nullpunkt von derselben oder höherer 
Ordnung für den Dividenden ist. Ist dieses jedoch mit allen 
Nullpunkten des Divisors der Fall, so wird der Quotient eine 
ganze transcendente Funktion, und wir wollen sagen, dass die 
Division aufgeht. 
95. Eine ganze rationale Funktion ist bis auf einen kon 
stanten Faktor durch ihre Nullpunkte bestimmt; wir wollen 
untersuchen, ob ein analoger Satz für ganze transcendente 
Funktionen gilt. Von den Nullpunkten wissen wir, dass sie 
von endlicher Ordnung sind, und dass sie sich nur im Punkte 
oo so zuzammenhäufen können, dass unendlich viele in ein 
endliches Flächenstück fallen. Indem wir sie mit a 1 , a 2 ... be 
zeichnen, nehmen wir zugleich an, dass sie nach der Grösse 
ihrer Moduln geordnet seien, so dass \a n \ bis ins Unendliche 
mit n wächst. Der Einfachkeit wegen wollen Avir annehmen, 
dass sie alle von der Ordnung 1 sind, da die übrigen Fälle 
sich als Grenzfälle betrachten lassen. 
Nun haben wir, wenn die gegebene Funktion f(z) ist, und 
f\(z) eine Funktion bezeichnet, die auch ganz transcendent ist 
und nicht Null wird für z = a l , sondern für a 2 , « 3 ..., 
f{z) = {z—a 1 )f l {z), 
woraus 
n*) = 1 I f\( z ) 
f(z) z—a, f\{z) 
und, wenn wir auf dieselbe Weise fortfahren, 
m = + ■ 1 i 
1 f{z) z—a 1 z — a 2 z — a n 1 f n (z) ’ 
wo f n (z) eine ganze transcendente Funktion bedeutet, die die 
selben Nullpunkte hat wie f(z) mit Ausnahme von a a ... a n .