GANZE TRANSCENDENTE FUNKTIONEN.
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Nun fragt es sich, ob wir in der gefundenen Formel n bis
ins Unendliche wachsen lassen können. Es ist klar, dass dies
sich nicht thun lässt, wenn die unendliche Reihe von Brüchen
divergent wird; wir wollen deshalb vorläufig voraussetzen, dass
sie für alle endlichen, von den Grössen a verschiedenen Werte
von z unbedingt konvergent wird. Die Bedingung hierfür ist
die, dass ^ — konvergent ist; man hat nämlich
1 1
1
1 1
z—a n
a n
1-^-
wo der letzte Faktor sich 1 nähert, da ! z für hinreichend grosse
n gegen 1 a n \ verschwindend ist.
Man darf jedoch nun nicht schliessen, dass die Konvergenz
der Reihe es mit sich bringen muss, dass das Restglied gegen
Null konvergiert, sondern nur, dass es gegen eine in der ganzen
Ebene endliche Funktion konvergiert. Es geht hier wie bei
der Zerlegung rationaler Brüche, wo der ganze Teil des Bruches
keinen Einfluss hat auf die Zähler der bei der Zerlegung ent
standenen Brüche.
indessen können wir die obenstehende Formel auf eine
solche Weise bilden, dass wir Mittel zur Untersuchung des
Restgliedes erhalten. Wir können nämlich Cauchys Integral
anwenden, wie es bei der Entwickelung von Laurents Reihe
gezeigt wurde. Wenn wir die n Pole a a ...a n ausschlies-
sen, so erhalten wir n Reihen, die hier jedoch jede nur aus
einem Gliede bestehen; wir erhalten also die n Brüche und
erkennen, dass das Restglied bestimmt wird durch das Cauchysche
Integral, genommen längs einem Kreise, der die n Pole um-
schliesst. Nähert dieses Integral sich Null bei wachsendem n,
so fällt das Restglied fort.
Beispielsweise wollen wir f(z) — sinnz betrachten, deren
Nullpunkte alle ganzen Zahlen sind; wir erhalten dann
11111
* cot« = - + ^ + • • •
= z +2г (?=“Р+ *¿2* + "-)’