Full text: Vorlesungen über Funktionstheorie

GANZE TRANSCENDENTE FUNKTIONEN. 
187 
Nun fragt es sich, ob wir in der gefundenen Formel n bis 
ins Unendliche wachsen lassen können. Es ist klar, dass dies 
sich nicht thun lässt, wenn die unendliche Reihe von Brüchen 
divergent wird; wir wollen deshalb vorläufig voraussetzen, dass 
sie für alle endlichen, von den Grössen a verschiedenen Werte 
von z unbedingt konvergent wird. Die Bedingung hierfür ist 
die, dass ^ — konvergent ist; man hat nämlich 
1 1 
1 
1 1 
z—a n 
a n 
1-^- 
wo der letzte Faktor sich 1 nähert, da ! z für hinreichend grosse 
n gegen 1 a n \ verschwindend ist. 
Man darf jedoch nun nicht schliessen, dass die Konvergenz 
der Reihe es mit sich bringen muss, dass das Restglied gegen 
Null konvergiert, sondern nur, dass es gegen eine in der ganzen 
Ebene endliche Funktion konvergiert. Es geht hier wie bei 
der Zerlegung rationaler Brüche, wo der ganze Teil des Bruches 
keinen Einfluss hat auf die Zähler der bei der Zerlegung ent 
standenen Brüche. 
indessen können wir die obenstehende Formel auf eine 
solche Weise bilden, dass wir Mittel zur Untersuchung des 
Restgliedes erhalten. Wir können nämlich Cauchys Integral 
anwenden, wie es bei der Entwickelung von Laurents Reihe 
gezeigt wurde. Wenn wir die n Pole a a ...a n ausschlies- 
sen, so erhalten wir n Reihen, die hier jedoch jede nur aus 
einem Gliede bestehen; wir erhalten also die n Brüche und 
erkennen, dass das Restglied bestimmt wird durch das Cauchysche 
Integral, genommen längs einem Kreise, der die n Pole um- 
schliesst. Nähert dieses Integral sich Null bei wachsendem n, 
so fällt das Restglied fort. 
Beispielsweise wollen wir f(z) — sinnz betrachten, deren 
Nullpunkte alle ganzen Zahlen sind; wir erhalten dann 
11111 
* cot« = - + ^ + • • • 
= z +2г (?=“Р+ *¿2* + "-)’
	        
Waiting...

Note to user

Dear user,

In response to current developments in the web technology used by the Goobi viewer, the software no longer supports your browser.

Please use one of the following browsers to display this page correctly.

Thank you.