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Zrtegralrechnung. IX. 486.
der Realität der
>e Bestimmungen
vorerst jene Fälle
zenden enthalten,
Weise erlediget
Einführung eines
gebracht werden
derselben der in
eilten Bedingung
m Mittheilungen
auf den zweiten
wie gesagt, als
;r oben aufgestell-
on der Annahme
Function von x,
; diese Gleichung
e wegen folgende
(15)
er der folgenden
<1 ,
Lariabeln x und
also erstere nach
i Ausschließungs-
[ nothwendig die
nde zwei Gleich-
dy
<PX ll lo “ • P dX __ P dp d 2 Y ^ d '° S ' Q dY _ Q_ dq
dx 2 + dx dx Q dx dy 2 dy dy P dy
welche gleichfalls identisch bestehen werden, wenn die am Eingänge
getroffene Annahme Realität hat. Diese zwei Gleichheiten unterschei
den sich darin von der in (14), daß während diese noch beide unbe
kannten Functionen X und Y implicirt, sind besagte zwei Functionen
in den eben aufgestellten zwei Gleichheiten bereits abgesondert; so
daß gegenwärtig sowohl zur Bestimmung jeder derselben, wie zur
Aufstellung der nöthigen Bedingungsgleichungen geschritten werden
kann. Differenzirt man nämlich die erste derselben nach y, die
zweite nach x und bedenkt die ursprünglichen Bedeutungen von X
und Y, so erhält man folgende zwei Gleichheiten:
d21 °g-p-dx_ d
dxdy dx
d2 '°"-|-dY_ d (|^) ;
dxdy dy dx
und da bei Feststellung des in 1) angedeuteten Ausfchließungsfalles
die Coefficienten von ^ und ^ angebbare oder von Null verschie
dene Werthe repräsentiren, so können diese sein sollenden Gleichhei
ten auch als Bestimmungsgleichungen für die oben erwähnten Dif
ferenzialquotienten von X und Y angesehen werden, und es kann
nunmehr folgender Satz als begründet erklärt werden.
Unter Feststellung der oben in 1) und 2) angedeute
ten zwei Ausschließungsfälle wird eine Differenzial
gleichung wie (1) einen integrirenden Faktor der Form:
X Y . X + Y
e e oder e
(16)
zulassen, wenn bei Feststellung der Vereinfachungs
gleichungen:
dxdy dxdy
in denen p und q aus den Gleichungen in (15) zu ziehen
sind, A unabhängig von y und B unabhängig von x er
kannt wird. Beim Eintreffen dieser doppelten Bedin-
