342 
— X®' 
—1 a -f* - b — 1 
h 
ct *f- 3 b 1 
a.a + b a.a+b.a + 2b 
+ etc. et trans- 
dy 
posito x 0—1 , et divisa aequatione per x b ~ l erit ‘ 
-}- 2 b 
■ a — b 
X ® X ® b 
a a. a 4* b 
etc. 
x y_1 dx 
y, id quod lianc sug- 
a.a + b. a 4 ^ b 
gerit aequationem dy = yx 6_1 dx4-x®‘ _1 dx, quae sane ipsissima 
est Fratris satis generaliter proposita; unde praeter spem incidi in 
modum solvendi lianc aequationem per seriem simplicissimam, 
quam forsan Frater non ita facile reperiret, si sollicitaretur pro 
priam suam aequationem vel saltem hanc per seriem solvere. Su 
mamus jam aliud exemplum, ubi proveniat aequatio differentialis 
secundi gradus. Quaeritur summa hujus seriei — 4* —j-— 
xx 
+ i.4.9 + 1.4.9.16 etC ' ; P ° natUr 1 + 1.4 + 1.4.9 + 1.4.9. 
16 
etc. = y, differentiando fiet 14- ,■—« + “r~r— 
J 1.2 1.4.6 
4* 
etc. = 
1.4.9.4 
dy x xx x 3 x 4 
j-, multiplicetur per x et erit Y + l~2 + FT1 + l~T~9~4 +etC * 
xd y xxx x 3 
= i —*: differentietur iterum et habebitur 1+ t + r~v 4- x—^—- 
dx i 1.4 1.4.9 
dxdy + xddy ,, , , 
etc. *= ; ablato 1, provenit tandem series identica 
dxdy4-xddy , x xx , x 3 x 4 
di 1 = I + n + TX» + uXTc etc - = i' 
quae reducta dabit xddy = ydx 2 -f-dx 2 — dxdy pro aequatione 
quaesita, quae an ad aequationem differentialem primi generis 
possit reduci, vellem ut dispiceres. Si quaeratur summa seriei 
111 1 
etc. obtinebitur aequatio dif- 
1 + 1.8 + 1.8.27 
+ 
1.8.27.64 
ferentialis tertii gradus ; ponendo enim ^ ~ 4- -—^—— 4- 
1 1.8 1.8.27 
------ etc. = y, post alternatim institutas tres differentiatio- 
nes, totidemque multiplicationes per x, pervenitur ad seriem iden- 
ticam, unde elicitur aequatio quaesita haec xxd 3 y = ydx J + dx 3 
—3 xdxddy 4 dx 2 dy. Atque hac ratione in altioribus gradibus 
operari licet.