343 
Multa alia, quae olim circa hanc materiam observaveram, 
omitto; lubet tamen attingere paucis aliud serierum genus, quod 
ante decennium, ut puto, primus ego consideravi, quodque cum 
Fratri aperuissem, protinus ipsi ansam dedit problemata solida et 
hypersolida, ope circini et normae construendi, per approximatio- 
nem Geometricam. Hujusmodi enim serierum sumina vel potius 
valor perpetuo aequatione algebraica fmita exprimi potest, idque 
eodem fere modo, quo serierum jam prolatarum summas indaga 
vimus, procedendo scilicet donec ad seriem identicam perveniatur. 
Quaeritur ex. gr. valor hujus seriei, 
/ 2 + V1 + V 2 + / 1 + / 2 etc. Pono illum = x, sumendo 
utriusque quadratum erit xx = 2 + V 1 + V2 -f V 1 + V 2 etc. 
! ■ . 1 ■ 1 - .Zr 
seu xx — 2 = yj l + V 2 “j— ^ 1 -f” V ^ etc. quadrando iterum 
provenit x 4 — 4xx + 4= l+ V2 + Vl + V 2 etc. ablato 1, 
habetur series identica x 4 — 4xx + 3 = V2+V1+V2+V1+V2 
etc. = x. Hinc x 4 — 4xx — x-f-3 — 0: cujus proinde aequa 
tionis radix ostendet verum valorem seriei propositae. Ex hisce 
paucis facile intelliguntur omnia, quae de constructione solidorum 
problematum exhibuit Frater meus. Non dubito quin haec et Tibi 
jam aliquando considerata fuerint, quamvis apud authores de serie- 
bus tractantes hactenus tale quid non repererim. Hac methodo in 
venitur ^2+ \/ 2 + V2+V2 etc. = 2, et V 6 + V 6 + V 6 + V 6 + V 6 
etc. = 3, aliaque id genus multa inveniri possunt, quae nemo 
Te melius perscrutabitur. Quod superest, vix putem alio modo 
quam fecisti inveniri posse summam seriei -J- -f* -g- -j— -1- 
etc. saltem ad aliam expressionem quam logarithmicam non redu * 
cetur. Quod reperisti 
5 + 1 
y x c+1 
e+x 
¡ti^x e 
log 1+x dx 
•x c+1 11 —(— x— 
e+1“ ‘ ~ e+1 
dx, verum est. De hoc autem, ni fallor, jam tum age- 
bamus, cum de exponentialium seu percurrentium Calculo sermo 
nes sereremus; interim non magis miror rem in nostro unico casu 
non succedere, quam mirarer Hyperbolam communem non esse 
quadrabilem: eadem enim naturae cautione accidit, ut ex infinitis