§14. Cauchy und Abel. 
173 
Die Bedeutung des Ca u chy’schen Lehrbuches besteht, 
wie schon hervorgehoben wurde, in der korrekten Einführung 
des Summenbegriffs und in der Ableitung von Kriterien für 
die Konvergenz der Reihen. Zu bemerken ist aber auch, dass 
C auch y die konvergenten Reihen trennt, in solche, für welche 
die Summe der absoluten Beträge konvergiert und in solche, 
für welche dies nicht der Fall ist, dass er zeigt, dass man 
nur auf Reihen erster Art den Satz von der gliedweisen Mul 
tiplikation zweier Summen anwenden könne. 
Dass die C au chy’schen Sätze über die Stetigkeit der 
durch Reihen dargestellten Funktionen nicht richtig sind, hat 
Abel bemerkt in seiner grossen Abhandlung 1 * ) über die bi 
nomische Reihe, in welcher er eine vollständig strenge Sum 
mation der Reihe 
1 + mx -4- (”) x* + (JO x 3 + . . . 
für komplexe m und x gab. 
Abel stellt seinen Betrachtungen über die binomische 
Reihe allgemeine Sätze über Konvergenz und Stetigkeit der 
Reihen voraus, von denen namentlich die letzteren wichtig 
sind, während die ersteren z. T. schon bei Cauchy sich finden. 
In der Einleitung macht er die treffende Bemerkung: 
Eine divergierende Reihe kann nie einer "bestimmten Grösse 
gleich sein, sie ist bloss ein Ausdruck mit gewissen Eigen 
schaften, die sich auf die Operationen beziehen, denen die 
Reihe unterworfen ist; die divergierenden Reihen können zu- 
weilen mit Nutzen als Symbole dienen, diese oder jene Sätze 
kürzer auszudrücken; aber man darf sie nie an die Stelle 
bestimmter Grössen setzen. Thut man es, so kann man be 
1) Untersuchungen über die Reihe 1 -f- & + (“) -{- 
Crelle’s Journal Bd. I. 1827. Oeuvres Bd. I, pag. 219.