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III. Abschnitt. 
wo 0(æ) die grösste unter den Grössen 
v m h m , v m h m + v m+1 S m +\ vj> m + v m +iZ m+1 4- v m+2 o m + 2 ,. . . 
Darnacli kann man (ein endliches) m stets gross ge 
nug annehmen, so dass (für jedes x zwischen a und &) = w 
(eine beliebig kleine Grösse) woraus dann die Stetigkeit von 
fix) folgt. 
Gegen diesen Beweis macht Herr Sy low (Abel Oeuvres 
II pag. 303) geltend, dass man aus <\>(x) < o) noch nicht 
schliessen könne, ty{x — ß) < w; mit andern Worten, dass 
0(;r) möglicherweise nicht für beliebige x zwischen den bei 
den Grenzen unter einer angebbaren endlichen Grenze bleiben 
könne. Dies würde aber der wesentlichen Voraussetzung 
widersprechen , dass die Reihe v 0 + ^5 + . . . . für alle x 
zwischen a und b konvergiert, d. h. dass der Rest derselben 
für alle x unter einer endlichen Grenze bleibt. 
Weiter beweist dann Abel den Satz von Ca uc hy über 
die Multiplikation zweier Reihen. Vermittelst dieser Satze 
ist es dann Abel gelungen, die binomische Reihe nach allen 
Seiten hin vollständig zu behandeln. 
Weitere Veranlassung, sich mit der allgemeinen Theorie 
der unendlichen Reihen näher zu beschäftigen, gab Abel 
ein Aufsatz von Olivier 1 ), in welchem dieser ein höchst 
einfaches Kriterium der Konvergenz und Divergenz angab : 
Eine Reihe mit positiven Gliedern, deren allgemeines Glied 
u n ist, divergiert, wenn lim (?m„)„ =c0 von null verschieden ist 
und konvergiert, wenn lim (ww„) n=00 = 0. Für den ersten Fall 
gibt Olivier einen hinreichenden Beweis, der darin besteht, 
dass er zeigt : wenn lim (wm„), î==co nicht null ist, so kann der 
Rest nicht verschwinden. 
1) Remarques sur les séries infinies et leur convergence Crelle J. 
Bd. 2.