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L 1 
cp(l) + cp(2) 
würde konvergieren, denn für diese Reihe wäre 
lim a n cp(n) — 0. 
Da aber beide Reihen zugleich divergieren, so kann es 
also keine Funktion cp(n) der verlangten Art geben. In einem 
Manuskripte, das im 2. Bande der Oeuvres, pag. 197 veröffent 
licht ist und das aus derselben Zeit stammt, weist Abel nach, 
dass auch die Reibe, deren allgemeines Glied 
n log n log 2 n ... log m ~ 1 n > 
wo log 2 n = log log n gesetzt ist, divergiert, dass dagegen die 
Reihe , 
n log n log 2 n.... log m ~ 1 n . (log m n) i ~' a ‘ 
für a >■ 0 konvergiert. Daraus erhält er dann die logarith- 
mischen Kriterien, welche von Bertrand im VII. Bande 
von Liouville’s Journal zum erstenmal veröffentlicht wurden. 
Weiter führt Abel in diesem Manuskript noch ohne 
Beweis den Satz an, dass wenn 
fix) = a 0 + a\X + a 2 # 2 + ... . 
konvergiert für alle æ zwischen — a und + a, der Differen 
tialquotient von f{x) durch gliedweise Differentiation erhalten 
wird und ebenfalls zwischen denselben Grenzen konvergiert 
und überdies gibt er noch einen Beweis für den zweiten 
Stetigkeitssatz. 
Fassen wir die Leistungen Cauchy’s in der Analyse 
algébrique und die von Abel kurz zusammen, so können 
wir sagen : Cauchy hat in seiner Analyse algébrique die 
Theorie der Konvergenz und Divergenz der endlichen Reihen,