§ 14. Cauchy und Abel. 
179 
Abel in seiner Abhandlung über die binomische Reihe die 
Lehre von der Stetigkeit der Reihen begründet. 
Wir schliessen an unsere Betrachtungen über Cauchy’s 
Cours cVanalyse algébrique seine weiteren Entdeckungen in 
der Theorie der Reihen, da sie eng an seine Untersuch 
ungen in dem genannten Werke anknüpfen. 
Wir erwähnen hier zunächst die neue Form, in welche 
Cauchy den Rest der Taylor’sehen Reihe brachte 1 ). Er 
geht aus von der Gleichung : 
/l* + ä) = ~ f(x+0) + /»'(* + *) + .. . 
differentiiert man nach so ergibt sich 
V'(z) = — ; f (n) ( x + *), 
und hieraus 
<p(Ä)—<p(0) 
h 
o<e<i, 
cp(A) = 0, 
und da 
und dies ist die Cauchy’ sehe Form des Restes der Taylor’- 
schen Reihe. 
Viel wichtiger als diese neue Form des Restes der Ta y- 
1 o r ’ sehen Reihe ist das Theorem Cauchy’s, welches grund 
legend war für die Theorie der Funktionen einer komplexen 
Veränderlichen, wonach jede eindeutige Funktion einer kom 
plexen Veränderlichen, welche stetig ist für alle \x I, die < |X| 
sind, wo X der dem O-Punkte nächst benachbarte Unstetig- 
1) Anciennes Exercices T. 1, p. 27. 
12 *