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keitspunkt der Funktion ist, in eine nach steigenden Potenzen 
von x fortschreitende, konvergente Reihe entwickelt werden kann. 
Cauchy hat diesen Satz noch an die Bedingung ge 
knüpft, dass auch der Differentialquotient der Funktion f{x) 
stetig und eindeutig sei. 
Sein Beweis, wie er ihn im Jahre 1832 gegeben hat in 
einem zu Turin herausgegebenen lithographierten Memoire, 
findet sich wieder abgedruckt in den Exercices d’analyse et 
de physique mathématique Bd. II, pag. 51 (1841). 
Setzt man x 7 = re ip , M<m, 
df(æ') _ 1 ôf(x') 
dr 
so ist bekanntlich 
ri dp 
Integriert man diese Gleichung nach r von 0 ... r, nach 
p von — 7t. . . + rc, so findet man 
f\x')dp = 2Tt/(0), 
TT 
und indem man setzt 
m = s&=3&i * 
wo cp(ff) dieselben Eigenschaften hat, Avie f(x), so erhält man 
dp _ fVk)*i dp . 
x—x 
Das Integral linker Hand ist = 2rccp(ic) ; entwickelt man 
x 1 
unter dem Integral rechter Hand — in eine nach Potenzen 
” x—x 
von ~ fortschreitende Reihe , wobei also |^j < \x'\ angenom 
men Avird, so folgt 
ff 71 
1 r± n _ x r+ 7i x 11 f* e~~ in P 
/(ff) ~ 2-j Jf{ x ')dp f 2- r fe- tp fW*P + "2i&