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III. Abschnitt. 
Dieser Cauchy’sehe Satz über dieEntwickelbarkeit der 
Funktionen ist zusammen mit seinem Satze über die Integrale 
der komplexen Funktionen die Grundlage der Theorie der 
Funktionen einer komplexen Veränderlichen geworden und 
wohl die bedeutendste Leistung Gaue h y ’ s. 
§ 15. Die Fourier’schen Reihen. 
Neben den Untersuchungen von Cauchy und Abel 
über die unendlichen Reihen, welche, sofern sie mit veränder 
lichen Reihen sich beschäftigten, wesentlich Potenzreihen be 
handeln, gehen Untersuchungen über die trigonometrischen 
Reihen her, welche von F ou ri er 1 ) in seinen Arbeiten über 
die Theorie der Wärme in der umfassendsten Weise verwendet 
wurden. 
Wir haben oben gesehen , dass Euler die Bestimmung 
der Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe durch be 
stimmte Integrale gelehrt hat; Euler hat aber nicht daran 
gedacht, die von ihm gefundenen Formeln auf die Entwick 
lung willkürlicher Funktionen in trigonometrische Reihen 
anzuwenden. Das hat eben Fourier in bewusster Weise 
getlian und darin wird nicht mit Unrecht das Hauptverdienst 
von F o u r i e r gefunden. 
Wir wollen zunächst zeigen, wie Fourier die Koeffi 
zienten der sm-Reihe bestimmt. In der Sektion VI des III. 
Kapitels: Développement d'une fonction arbitraire en séries 
trigonométriques verfährt er zur Bestimmung der Grössen a n 
in der Gleichung 
<p(2/) = Uj sin y + a 2 sin 2y + a 3 sin 3y + ... 
1) Théorie de la chaleur 1822. Fourier hat einen grossen Teil 
seiner Untersuchungen in den Jahren 1807 und 1811 der Pariser Aca 
demie vor gelegt. Vergl. die Einleitung zu Th. d. 1. ch.