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III. Abschnitt. 
Ca uchy schreibt die trigonometrische Reihe in folgender Form 
1 r a 2 r a 2tc 2 r a 4t: 
- / /’0 A M A +„ / cos— (a?—\x)f{\X)d\X + - / COS—(x-\l)f{\x)d[X+, 
W J Cl J U/ O J O 
oo o 
= a ff^^\ J e ^ .... 
0 0 
0 
f([i)d[i + ... . 
Die hier auf tretenden Integrale verwandelt er in andere, 
in denen die Integrationsvariabele imaginär wird. Er setzt 
voraus, dass es eine solche Funktion 
/fa + vä), 
gibt, welche im ganzen Gebiet der Variabein ¡x -f vi nie unendlich 
wird, im Unendlichen null wird und für v = 0 in die Funk 
tion /[¡i) übergeht. Eine solche Funktion wäre aber durch 
weg 0. Riemann hat jedoch bemerkt, dass diese Voraus 
setzung Cauchy’s sich reduzieren lässt auf die Voraussetz 
ung, dass /’(¡i, -f vi) so bestimmt werden , dass die Funktion 
für positive oder negative v nicht unendlich wird und für 
p = 0 in f([x) übergeht; eine Voraussetzung , welche R i e- 
m ann als bewiesen annimmt, die aber, wie man jetzt weiss, 
eben mit der Frage der Entwickelbarkeit der /"(p) in eine 
trigonometrische Reihe zusammenhängt, so dass hier ein Zirkel 
im Beweise vorliegt. 
Unter dieser Voraussetzung bringt Cauchy die obige 
Reihe in die Form f(x) = 1 j'f(\x)d\x 
ai. 
C l f{a> + vi) — /O') 
f(a—vi) - 
-fl- 
vi)l 
J | . 2nxi 2nv 
( e a e a — 1 
2izxi 
2tcv 
( 
e a e 
a 
-l| 
dv