189 
§ 15. Die Fourier’schen Reihen. 
wo 
/(|x +v«) v==0 =f{ tO, /(^—Vi)v=0=/({ A )*) 
uncl die erste Funktion in der positiven Halbebene, die zweite 
in der negativen Halbebene nicht unendlich werden, beide für 
v = oo zu null werden. 
Von diesem Integral lässt sich unschwer einsehen, dass 
es für 0 < x < a konvergiert; diese Betrachtung stellt jedoch 
Cauchy nicht an, vielmehr verwandelt er das Integral wieder 
in eine unendliche Reihe, von der er zeigt, dass das nie Glied 
für hinreichend grosses n beliebig nahe gebracht werden kann 
dem Werte 
— №) —f(0)) 2~ 
2mtc 
sin — 
Ci 
und da diese Reihe konvergiert, so schliesst Cauchy auch 
auf die Konvergenz der allgemeinen Reihe. 
Gegen diesen Schluss wendet sich Dirichlet, indem er 
zeigt, dass es Reihen gibt, deren nie Glieder beliebig wenig 
von einander verschieden sind für grosse n , von denen die 
eine konvergiert, die andere divergiert. So konvergiert die 
während die Reihe 
Hätte Cauchy von der Endlichkeit des obigen Integrals 
aus auf die Konvergenz der Reihe geschlossen, so hätte 
Dirichlet diesen Einwand nicht machen' können. Wir 
müssen daher Riemann Recht geben, dass unter der Vor 
aussetzung der benützten Sätze über die komplexen Verän 
derlichen der Cauchy’sehe Beweis bestehen bleibt. 
In der schon öfter citierten Abhandlung brachte D i- 
1) Der Subtrahend unter dem Integral wäre korrekterweise mit 
f x {a—ri)—/,(—vi) zu schreiben.