§ 16. Die Ausbildung der Konvergenzkriterien. 
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sich wesentlich damit beschäftigt, die numerische Auswertung 
von Reihen nach der Methode, welche Euler im I. Kapitel 
des zweiten Teiles seiner Institutiones calculi differentialis 
auseinandergesetzt hat (s. oben pag. 109), zu untersuchen und 
die Mittel anzugeben, wie man die Grösse des Restes in jedem 
Falle bestimmen kann. Ebenso wie Poisson und Jacobi 
die Euler-Mac Laurin’sche Summenformel in strenger Weise 
behandelten, ebenso hat Poisson diese Euler’schen Betrach 
tungen in strenge Form gebracht. 
Wir wenden uns nun zu denjenigen Arbeiten, welche, an 
Cauchy’s Konvergenzkriterien anknüpfend, darauf ausgehen, 
solche Kriterien zu finden, die, wenn die Cauchy’schen ver 
sagen, gestatten, die Konvergenz oder Divergenz der Reihen 
zu entscheiden. 
Die erste hiehergehörige Untersuchung ist von R a a b e *) 
angestellt worden. 
Im Beginne seiner Abhandlung beweist Raabe das von 
Mac Lau rin und Euler zuerst aus geometrischen Gründen 
aufgestellte Theorem, das auch Cauchy in den Exercices 
de Math. Bd. II, pag. 221 benützt: 
»Stellt cp(x) eine Funktion vor, die beim unendlichen Wach 
sen der Variablen x unendlich klein wird und für alle inner 
halb a und oo liegenden Werte von x endliche Resultate mit 
gleichen Zeichen annimmt, so konvergiert oder divergiert die 
ohne Ende fortlaufende Reihe 
cp (a +1) + cp (a-h 2) + cp (a 4- 3) + .... 
au calcul numérique et à la détermination des limites du reste des 
séries. (Mémoire lu a l’Académie des Sciences de Paris le lundi 30. 
juillet 1833.) Crelle J. Bd. 13. pag. 1. 
1) Untersuchungen über die Konvergenz und Divergenz der Reihen. 
Zeitschrift für Physik und Mathematik, herausgegeben von A. Baum 
gartner und A. v. Ettinghausen. X. Bd. 1832.