§ 16. Die Ausbildung der Konvergenzkriterien. 
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Solche schärfere Kriterien wurden zuerst von Morgan 
bekannt gemacht; leider ist mir das Werk von Morgan 
nicht zugänglich gewesen, so dass ich auf die Bemerkungen, 
welche bei Bertrand und Ossian Bon net sich finden, 
angewiesen war. 
Die Kriterien von Morgan heissen: 
Ist cp(x) eine stets wachsende Funktion und ist die Reihe 
u x — 
1 
cpOO 
vorgelegt, so bilde man 
x. cp'(x) 
Ä - *WT' 
ist lim p 0 = ci 0 > 1, so ist die Reihe konvergent, ist a 0 < 1, 
so ist sie divergent; ist dagegen ci 0 — 1 , so bilde man 
log x .{p 0 — 1) = Pi und untersuche lim Pi = a, ; für a { > 1 ist 
die Reihe konvergent, ist a x <1, so ist sie divergent; ist da 
gegen a t — 1, so untersuche man log logx(p) 1 — 1) = p 2 u. s. f. 
Bertrand stellt in seiner Arbeit die von Abel gefun 
denen aber nicht veröffentlichten Kriterien auf (Liouv.Journ.VII). 
Führt man folgende Bezeichnung ein log log x = log 2 x 
log log log x = log 3 x, so ergibt sich aus dem schon öfter 
citierten Satze über den Zusammenhang zwischen dem Inte 
grale einer fortwährend abnehmenden Funktion und der Kon- 
o 
vergenz der Reihen, dass 
1 + 1 + ... 
2 log 2 log 2 2 log z 2...(log v 2y 3 log 3 log 2 3 log 3 S...(log p 3) a ’ 
konvergiert für a > 1 und divergiert für a<l. 
Daraus ergibt sich folgender Satz, der die Verallgemei 
nerung des logarithmischen Kriteriums von C a u c h y ist. 
Die Konvergenz oder Divergenz der Reihe u n wird bestimmt, 
wenn es ein p gibt, so dass der folgende Ausdruck 1 ist.