§ 16. Die Ausbildung der Konvergenzkriterien. 205 
u n (n +1) log (n + l) h 
u n +i n log n h 
wonach die Uebereinstimmung mit dem logarithmischen Kri- 
terinm nachgewiesen ist. 
Ebenso lässt sich die Uebereinstimmung mit dem Kri 
terium von Morgan zeigen. 
Es ist nämlich , wenn u n = gesetzt wird, 
log 2 n log z n 
Wenn man hierin n unendlich werden lässt und die ge 
wöhnlichen Regeln anwendet, so geht der Ausdruck rechter 
Hand über in 
Es sind also die drei Kriterien, das von Morgan, das 
erweiterte Ra abe’sehe und das logarithmische einander 
äquivalent. 
Ossian Bonnet 1 ) hat die Bertrand’schen Resultate 
in etwas einfachererWeise abgeleitet und noch andere Regeln 
für die Konvergenz und Divergenz der Reihen abgeleitet, 
welche im wesentlichen aber mit den Bertrand’schen überein 
stimmen , vielmehr nur etwas andere Ausdrücke derselben 
gehen. Ossian Bonnet macht dabei die Bemerkung (pag. 
79), dass die logarithmischen Kriterien zum Ziele führen, 
ausser wenn die Anzahl der Logarithmen in denselben ins 
unendliche wächst, »le cas est en quelque sorte le point de 
jonction des series convergentes et des series divergentes.« 
Dass dies nicht richtig ist, hat Herr P. duBois-Rey- 
1) Liouville’s Journal Bd. 8, 1843.