§ 17. Die gleichmässige Konvergenz der Reihen. 209 
Nach diesen Bemerkungen beweist Stokes folgendes 
Theorem: 
The limit of V can never differ from U unless the con- 
vergency of the series (2) becomes infinitely slow 
when h vanishes. 
The convergency of the series is here said to become i n- 
f in it el y si oio when, if n be the number of terms which 
must be taken in order to render the sum of the neglected 
terms numerically less than a given quantity e idhich may 
be as small as ive please, n increases beyond all limits. 
Beweis: Wenn die Konvergenz nicht unendlich lang 
sam wird, so wird es möglich sein, eine so grosse Zahl n t zu 
finden, dass für jeden Wert von h, mit dem wir beginnen, 
und für alle kleineren Werte, welche grösser als 0 sind, die 
Summe der vernachlässigten Terme < e ist. Nun ist die 
Grenze der Summe der ersten n x -Terme von (2), wenn h — 0 
wird, die Summe der ersten w,-Terme von (1). Wenn daher 
e' der numerische Wert des Restes von (1) ist, so können 
U und lim Vh=o nicht um mehr als e-\-e' von einander ver 
schieden sein. Aber e und e' können kleiner gemacht werden 
als irgend welche angebbare Grössen und daher ist U = lim V. 
Stokes machte hier die stillschweigende Voraussetzung, 
die Reihe (TJ) konvergiere nicht unendlich langsam und diese 
Annahme bringt ihn dann auch dazu , den nicht richtigen 
Satz auszusprechen, dass wenn lim Yh-o — U, die Reihe V nicht 
unendlich langsam konvergieren könne. 
Schärfer als Stokes hat Seidel die ganze Frage ge 
fasst. Er spricht den Satz über das Verhalten der Reihe an 
der Unstetigkeitsstelle folgendermassen aus : 
Hat man eine konvergierende Reihe, loelche eine diskon 
tinuierliche Funktion einer Grosse x dar stellt, von der ihre 
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Reiff, Gesch. d. unendl. Reihen.