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Euklids Elemente 
Zweitens 
Erster Fall. 
Wenn die Eckseiten, AG, BE; CN, DF, auf den Grund 
flächen, AB, CD, senkrecht sind. Nun sind die Winkel, 
AKB, CQD, einander entweder gleich oder ungleich. 
Erstlich. Sind die Winkel ungleich, etwa AKB < CQD, 
so verlängre CQ nach S, und mache (1,2-;.S.) SQT = AKB, 
desgleichen QSrrKA, QT = KB. Vollende das Parallelo 
gramm, TS, und das Parallelepipedon, TSZM. Verlängre 
D Q, X T, bis sie in a zusammentreffen, und ziehe durch 8 der 
DA die 8 ä parallel. Verlängre OD, dS, bis sie in cfeufrnm 
mentreffen, und vollende die Parallelepipeda, aSZb, QceR: 
so ist (i,Z5.S.) T8 = aS, und (ir,29.S.) TSZM — aSZb, 
weil beyde einerley Grundfläche, QZ, und einerley Endungs 
linien, bY, aX, haben. 
Da KA = QS, KB = QT, AKB = SQT, so ist 
(6, i.Def.) AB ^ TS. Eben so, weil die Höhe, welche durch 
die Perpendikel, KE, QR, bestimmt wird, gleich, ist BE ^ RT, 
und AE ^ RS. Folglich ist (11, 24. S. und iv. Des) 
ABEG = TSZM — aSZb. 
Da AB — T8 — aS, und AB = CD, so ist CD — aS, 
und (5,7.S.) CD : DS — aS ; DS. 
Da Ce durch die Parallelebne, F Q, geschnitten wird, so ist 
(n,2Z.S.) CDF: QceR 2^2 CD :DS = aS :DS. Aus 
eben dem Grunde, da ae durch die Parallelebne, QZ, geschnit 
ten wird, ist a8Zb:QceR^2aS:D8. Folglich ist(;,n.S.) 
CDFN : QceR 22= aSZb : QceR, folglich (5, 9. S.) 
CDFISl 2-2 aSZb — ABEG.