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Euklids Elemente 
Der 33. Sag. 
Aenliche Parallelepipeda, AB, CD, sind in dreyfach hö 
herer Verhältniß ihrer homologen Seiten, AE, CF. 
Verlangte AE, GE, HE, 
bis Elm CF, EK m FM, 
ELr,FQ. Vollende düs 
Parallelogramm, FI, und die 
Körper, Ol, KP; desgleichen 
das Parallelogramm, GI, und 
den Körper, EN. 
Da CD ru AB, so ist 
(ii, 9. Des. und 6, i. Des.) 
MFC = GEA = (i, 15.0.) 
KEI. Nun ist CF = EI, 
FM m EK. Folglich ist (6, s.Def.) CM ^ IK. Eben so 
wird bewiesen, daß auch ()C ~ IL, und DF ~ EO. Folg 
lich ist (11,24.0. und ro.Des.) CD ^ Ol. 
Da AB rv CD /v Ol, so ist (u,9.Des. und 6,1.Des.) 
AE: EI rn GE : EK =HE;EL. Nun ist (6,1.0. und 
H,Z2.S.) AE : El = AG : Gl m AB : EN, und GE : EK 
= GI: IKmEN : KP, desgleichen HE : ELrrHI: ILm 
KP : Ol, und daher AB : EN m EN: KP = KP :OL 
Folglich ist (11, > Des.) AB : Ol rn (AB : EN) ? rn (AE ; EI) K 
Nun war Ol m CD und EI = CF. Folglich ist AB : CD = 
(AE: CF)?. 
Zusatz. 
Hieraus erhellet: wenn vier gerade Linien stetig propor- 
tionirt sind, daß alsdenn die erste zur vierten sich verhalte, 
wie das Parallelepipedon aus der ersten, zu dem ihm änlichen 
und änlich liegenden Parallelepipedon aus der zweyten. 
Denn die erste und letzte sind in dreyfach höherer Verhältniß der 
Heyden ersten. 
Der 34. Satz. 
Wenn Parallelepipeda, AB, CD, einander gleich sind: 
so sind ihre Grundflächen, AK, CO, in umgekehrter Ver 
hältniß