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Zwölftes Buch. 
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Folglich ist 
loch vielmehr 
Ein 
Eitt andrer Beweis, daß AZ > AG. Auf AG er- 
richte in 6 den Perpendikel, GK, und ziehe AK. Theile den 
Boaen, BL, durch fortgesetzte Halbirungen, bis endlich ein 
Stück, etwa BI, übrig bleibt, welches (iQ, i. S.) kleiner ist als 
ein Bogen, dessen Sehne GK wäre. Folglich wäre auch die 
Sehne BI < GK. Nun ist nach dem vorher bewiesenen BZI 
ein stumpfer Winkel, folglich BZ < BI. Daher ist BZ < GK, 
oder O B Z < □ G K. 
Da AB — AK, und (r, 47. 0.) □ AB = □ AZ -f □ BZ, 
desgleichen □ AK = □ AG -f □ GK, so ifl □ AZ + □ BZ = 
□ AG + □ GK. Nun war □ BZ < □ GK. Folglich ist 
□ AZ > □ AG, und daher AZ > AG. 
Zusatz. 
Wenn in eine andre Kugel, 8, ein Polyedron beschrieben 
wird, welches dem in die Kugel, A, beschriebnen Polyedron 
änlich ist: so sind beyde Polyedra in dreyfach höherer Ver 
hältniß der Durchmesser ihrer Kugeln. 
Theilt man diese Polyedra in gleich viele Pyramiden einer Art, 
so sind diese Pyramiden einander änlich, folglich (12,8. S.) in 
dreyfach höherer Verhältniß ihrer homologen Seiten, das ist, 
eine Pyramide in der Kugel, A, deren Grundfläche, IBOR, 
und deren Scheitel, A, ist zu einer homologen Pyramide irr der 
Kugel, B, in dreyfach höherer Verhältniß der Halbmesser, oder 
Durchmesser beyder Kugeln. Nun ist aber (5,12. S.) eine Py 
ramide der Kugel A, zu einer Pyramide der Kugel B, wie alle 
Pyramiden der Kugel A, zu allen Pyramiden der Kugel B, das 
ist, wie das ganze Polyedron in der Kugel A, zu dem ganzen 
Polyedron in der Kugel B. Demnach sind diese Polyedra auch 
in dreyfach höherer Verhältniß der Durchmesser ihrer Kugeln. 
Der r8. Say. 
Kugeln, A B C, D E F, sind in dreyfach höherer Verhält 
niß ihrer Durchmesser, BÖ, EF. 
Wäre nicht (BC : EF)* = Kugel ABC : Kugel DLL, so 
sey (BL :EBP — Kugel ABC : X, so daß X entweder grösser, 
oder kleiner als die Kugel DEL. 
Erster Fall. 
Es sey (BC : EF)* = Kugel ABC : X, so daß X < 
Kugel DEF. Macke