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Multlplieirt man aber die obige Gleichung («) mit NO; so erhalt man 
ÄM.NO . E N = } (A B -f B C + C Ä) . N O ’, 
folglich ist auch 
AM.BN.CN^^sAB-s-BC-s-AC). NO“, 
oder, weil CN = CP tjl, 
AM, BN . C P =: 7 (A B -|-BC -f- CA) . NÖ\ 
§- 6. 
Lehrsatz. Wenn man die gegenüberliegenden Seiten eine^ in 
einem Kreise beschriebenen Sechsecks verlängert, bis sich je zwey in einem 
Punkte durchschneiden; so liegen die drey Durchschnittspunkte in der 
selben geraden Linie. 
Beweis. (Fig. 53.) Es sey ABCDEF ein in einem Kreise 
beschriebenes Sechseck, die verlängerten Seiten AF und CD schneiden 
sich in dem Punkte G, die Seiten EF und BC in dem Punkte H; 
und die Seiten AB und ED im Punkte I; so ist zu beweisen, daß die 
drey Punkte G, H und I in derselben geraden Linie liegen. 
Man ziehe die Gerade Gl und beweise, daß diese auch durch den 
dritten Punkt H gehen müsse. 
i) Man beschreibe durch die drey Punkte D, F und G einen 
Kreis, welcher die Gl in K durchschneidet, und ziehe die geraden 
Linien FD, BD und KD; so ist im Vierecke AFDB 
3SB. BDF == i8o° — B AF = i8o° — I AG, 
oder 
W. BDF = i8o° — (i8o 0 — AGI — AIG) =AGI + AIG. 
Verlängert man die Seite KD des im Kreise DFG beschrie 
benen Vierecks DFGK »der D hinaus, bis sie den gegebenen Kreis 
in L durchschneidet, so ist 
W. FDK-{-FDL = i8o° = FDK-f-AGI, 
mithin ist W. FDD ---- AGI, also ist 
W. BDE — BDF — FDL = (AGI-{- AIG) — A GI = A 1 G, 
nämlich es ist W. BDE = AIG. 
Im Vierecke BDKI ist W. BDK -f AIG ----- B DK + 
+ BDL = i8o°; mithin läßt sich um dieses Viereck ein Kreis 
beschreiben.