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Auflösung. Man ziehe die beyden Diagonalen des Quadra 
tes; so halbiren sich diese gegenseitig in ihrem Durchschnittspunkre. 
Hierauf beschreibe man aus den vier Ecken des Quadrates als Mittel 
punkten mit der halben Diagonale als Halbmesser Kreisbogen; so sind 
die acht Durchschnittspunkte derselben mit den Seiten des Quadrates 
die acht Ecken des gesuchten regulären Achtecks. 
Beweis. Verbindet man jene acht Durchschnittspunkte durch 
gerade Linien; so bilden diese ein gleichwinkliges Polygon, wie der 
Anfänger beym bloßen Anblick der Figur sogleich sehen wird, und es 
kommt nur noch darauf an, zu beweisen, daß jenes Polygon auch 
gleichseitig sey. Bezeichnen wir die Seite des gegebenen Quadrates 
mit a, den erwähnten Halbmesser (die halbe Diagonale) mit r, jedes 
Segment der Quadratseite zwischen den zwey auf ihr befindlichen Thei 
lungspunkten mit x, und die Gerade, welche die beiden nächst gelege 
nen Theilungspunkte auf zwey anstoßenden Seiten des Quadrates ver 
bindet, mit y; so ist 
r 2 = \ a 2 , also r = ~ 2; 
ferner 
x = a •— 2 (a — r) = 2r — a = a \/‘2 — a = a (}/2 — i), 
und 
y 2 = 2 (a — r) 2 = 2 ^a — - y/2^ , 
also 
y = a (\/2 — 1), folglich X = y, 
d. h. das Polygon ist auch gleichseitig, mithin ist es regulär, w. z. b. w. 
§. '4- 
Lehrsatz. 2>n gleichschenkligen rechtwinkligen Dreyecke ist das 
Quadrat der Hypotenuse zweymal so groß als das Quadrat einer 
Kathete. 
Dieser Satz ist zwar bloß ein besonderer Fall des sogenannten 
Pythagoräischen Lehrsatzes, allein es ist eine gute Übung für den An 
fänger , denselben für sich zu beweisen, und zwar mit der Konstruktion 
der Quadrate zu variiren, indem das Quadrat über der Hypotenuse 
entweder nach außen oder nach innen (wo das gegebene Dreyeck ein 
Theil dieses Quadrates wird) verzeichnet wird, u. s. w.