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die AB und die AC bis zum Durchschnitte mit jenen Parallelen, so 
ist AKLM ein rechtwinkliges Parallelogramm, und eben so sind, 
wenn man CH verlängert, bis sie die KL in N schneidet, und die 
Gerade HD zieht, IKNH, CHDM und HDLN rechtwinklige 
Parallelogramme, und die drey Punkte I, H und D liegen in derselben 
geraden Linie l D (?). Ferner sind die Dreyecke ABC, CBN, DEL 
und BEK kongruent, das Rechteck DLNH ist ein mit ABFG kon 
gruentes Quadrat, und das Rechteck CMDH IINKI (?) — 
= 2. A CDM, also ist CM DH -f HNIK — 4. A CDM. 
Nun ist aber das Quadrat 
AKLM = Quadrat BCDE -f 4. A CDM, 
mithin Quadrat 
BCDE = Quadrat AKLM — 4. A CDM; 
und Quadrat 
DL NH + Quadrat ACHI = Quadrat AKLM — 
— (Rechteck CHDM -j- IKNH) = Quadr. AKLM-4.ACDM, 
mithin ist auch Quadrat 
BCDE — Quadrat DL NH -j- Quadrat ACIII, 
und weil Quadrat DL NH = Quadrat ABFG; so erhält man 
endlich durch Substitution 
Quadrat BCDE = Quadrat ABFG -j- Quadrat ACHI. 
Beweis. 3) Das Dreyeck ABC (Fig. 72.) sey rechtwinklig 
in A. Man beschreibe über den beyden Katheten die Quadrate ABFG 
und ACHI nach außen, verlängere die Seite FB und HC bis zu 
ihrem Durchschnitte in K und die Seiten F G und H I bis zu ihrem 
Durchschnitte in L; so erhält man das Quadrat BF LH. Nun 
nehme man DL — EF = AC, und ziehe die Geraden DE, CD 
und BE; so ist das Viereck BCDE das über der Hypotenuse BC 
nach innen beschriebene Quadrat (?). Ferner ist nun, wegen der Kon 
gruenz der vier Dreyecke BCK, CDH, DEL und BEF, u. s. f. 
Beweis. 4) Man beschreibe über der Kathete AC des in A 
rechtwinkligen A ABC (Fig. 78.) das Quadrat ACDE, schneide 
auf der Seite DE, die nöthigen Falls zu verlängern ist, ein Stück 
DL' — AB und auf der Seite AE ein Stück EG = AB ab; 
über dieser Geraden EG verzeichne man das Quadrat EGHI nach 
außen, und ziehe die Geraden BH, HF und FC.