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(die sich nach §. i Nro. 2 in einem Punkte M schneiden müssen) halbirt 
werden; so verhält sich das Quadrat der Entfernung des gemeinschaftlichen 
Durchschnittspunktes M von einer der Ecken deö Dreyecks zum Recht 
ecke der beyden, jene Ecke (z. B. A) einschließenden Seiten, wie der 
Überschuß der Summe dieser beyden Seiten über die dritte Seite zum 
Umfange des Dreyecks, nämlich es ist 
ÄJ\T : AB . AC = AB + AC — BC : AB + AC + BC. 
Beweis. Die Beweise für die Gültigkeit der ersten fünf Sätze 
wird der Anfänger ohne Mühe selbst sinden. 
6) Man beschreibe um das gegebene Dreyeck ABC einen Kreis, 
verlängere die Halbirungslinie AD, bis sie die Peripherie in E trifft, 
und ziehe die Gerade BE; so ist das A ABEos A ACD (?); folg 
lich AB . AC = AE . AD = (AD + DE) AD — AD' + 
-j- AD . DE, und weil AD . DE = BD . CD tjl/ so erhalt 
mau durch Substitution 
AB . AC = Ä1T + BD . CD. 
Dieser Satz läßt sich übrigens auch ohne Hülfskreis auf folgende Art 
demonstriren. 
Anderer Beweis. In dem A ABC (Fig. 75) sey der Win 
kel A durch die Gerade AD halbirt, öderes sey W. B A D = C AD.— 
Wenn AB = AC ist, so ist die Sache sehr einfach, und wir über 
lassen deßhalb diesen Fall dem eignen Nachdenken des Anfängers. 
Es sey daher 
AB > AC; so ist W. ACB > W. ABC, 
also auch 
W. ACD 4- CAD > W. AB D + BAD, 
oder 
W. ADB > ADC. 
Man fälle aus C das Perpendikel CE auf AD, mache EF = 
= ED und ziehe CF; so ist CF ----- CD und W. C FE =3 ^ 
CDE W. ADC; also auch 
180 0 — CFE --- 180 0 — ADC, d. i. W. AFC = W. BDA, 
und weil überdieß 
W. CAF = W. BAD, so ist das A ACF^> AABD, 
mithin 
BD : AD = CF : AF 
oder BD : AD = CD : AF,