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Scheitel C und dem Durchschnitte E die vierte geometrische Propor 
tionale , u. s. w. 
§. 42. 
Lehrsatz. Theilt man jede Seite eines gleichseitigen Dreyecks 
(auf dem Umfange nach derselben Richtung fortgehend) im Verhältniß 
1:2, und verbindet die Theilungspnnkte durch gerade Linien, so 
stehen die Seiten des so erzeugten gleichseitigen Dreyecks senkrecht auf 
den Seiten des gegebenen Dreyecks. 
Der Beweis ist höchst einfach. 
$. 43. 
Aufgabe. Aus dem Scheirel A (Fig. 5.) eines gegebenen 
Winkels BAC, dessen Schenkel der Größe nach gegeben sind, eine 
begränzte Gerade so zn ziehen, daß dieselbe, wenn man aus ihrem 
andern Endpunkte auf die Schenkel des Winkels Perpendikel fallt, zu 
den beyden Abschnitten der Schenkel, welche nicht zwischen den Per 
pendikeln und dem Scheitel liegen, gegebene Verhältnisse habe. 
Auflösung. Seyen a, ß, y drey Gerade, welche die gege 
benen Verhältnisse zu einander haben sollen. 
Man schneide vom Schenkel AC ein Stück CD = ß, von 
AB ein Stück BE — y ab, ziehe die Geraden CO und DE senk 
recht auf AC, und die Geraden BO und EF senkrecht auf AB, 
welche die beyden ersten Perpendikel in den Punkten O und E durch 
schneiden. Nmi ziehe man durch O und E die Gerade GH, ver 
binde G mit A, und trage von E aus zur Linie AG die Gerade 
FI = a; endlich ziehe man durch A die Gerade A K [J IF, welche 
von der Linie OH im Punkte K begränzt wird, so ist AB die ge 
suchte Linie. 
Man hat also zu erweisen, daß 
AK : CL : BM = « : ß : y. 
§. 44. 
Aufgabe. Innerhalb eines gegebenen Winkels einen Punkt 
von der Beschaffenheit zu ssnden, daß die Gerade, welche denselben 
mit dem Scheitel verbindet, mit den aus ihm auf die beyden Schenkel 
des Winkels gefällten Perpendikel gegebene Verhältnisse bilde.